Introduction à la théorie de Galois

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About this course: Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathémati…

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About this course: Le cours expose la théorie de Galois, du classique critère de non-résolubilité des équations polynomiales aux méthodes plus avancées de calcul de groupes de Galois par réduction modulo un nombre premier. Le thème général de cette théorie est l'étude des racines d'un polynôme et concerne en particulier la possibilité de les exprimer à partir des coefficients de ce polynôme. Evariste Galois considère les symétries de ces racines et associe ainsi à ce polynôme un groupe de permutations de ses racines, que l'on appelle maintenant son groupe de Galois. Il dégage à cette occasion pour la première fois, dans ce cadre, la notion de groupe, maintenant omniprésente en mathématiques. Son étude lui permet d'expliquer pourquoi les racines d'une équation prise au hasard ne s'expriment en général pas par des formules algébriques faisant intervenir ses coefficients à partir du degré 5, un résultat démontré auparavant par Abel. Plus généralement, l'étude du groupe de Galois du polynôme permet de dire exactement quand une telle formule existe. C'est ce que l'on appelle la correspondance de Galois : elle relie d'une part la théorie des corps, d'autre part la théorie des groupes.Ce cours expliquera cette théorie en n'utilisant que des résultats de base d'algèbre linéaire. Nous étudierons d'un côté la théorie des corps, c'est-à-dire la façon dont les corps s'emboîtent les uns dans les autres, en introduisant la notion de nombre algébrique (essentiellement les racines de polynômes). D'un autre côté, nous introduirons les éléments nécessaires à l'étude des groupes de permutations. Cela nous permettra d'expliquer la théorie de Galois, non seulement dans son cadre d'origine, c'est-à-dire quand les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, mais aussi dans un cadre plus général, par exemple lorsqu'on réduit ces coefficients modulo un nombre premier p. Le cours culminera avec une comparaison des groupes de Galois dans ces deux situations (« entière » et après réduction modulo p), fournissant ainsi un outil de calcul puissant de ces groupes. Ce cours est l'occasion d'aborder des notions d'algèbre variées, essentielles dans de nombreux domaines des mathématiques, de manière très simple pour très rapidement aboutir à des résultats tout à fait remarquables. Nous n'avons pas cherché la généralité maximale mais au contraire à aller rapidement à l'essentiel en utilisant le minimum de formalisme abstrait. Le FLOTeur intéressé sera alors armé pour aller plus loin, notamment grâce à la bibliographie ou à des cours plus avancés.

Created by:  École normale supérieure
  • Taught by:  Olivier Debarre, Professeur

    Département de mathématiques
  • Taught by:  Yves Laszlo, Professeur

    Directeur adjoint Sciences
Commitment 5-7 heures par semaine Language French How To Pass Pass all graded assignments to complete the course. User Ratings 4.7 stars Average User Rating 4.7See what learners said 课程作业

每门课程都像是一本互动的教科书,具有预先录制的视频、测验和项目。

来自同学的帮助

与其他成千上万的学生相联系,对想法进行辩论,讨论课程材料,并寻求帮助来掌握概念。

École normale supérieure L’École normale supérieure (ENS) est un établissement d'enseignement supérieur pour les études prédoctorales et doctorales (graduate school) et un haut lieu de la recherche française. L'ENS offre à 300 nouveaux étudiants et 200 doctorants chaque année une formation de haut niveau, largement pluridisciplinaire, des humanités et sciences sociales aux sciences dures. Régulièrement distinguée au niveau international, l'ENS a formé 10 médailles Fields et 13 prix Nobel.

Syllabus


WEEK 1


Introduction
description du problème et quelques résultats sur les polynômes d'une variable comme échauffement


5 videos, 4 readings expand


  1. 阅读: Déroulement du cours
  2. 阅读: Textes complémentaires
  3. 阅读: Validation du cours
  4. Video: Vidéo 1 : présentation
  5. Video: Vidéo 2 : survol historique
  6. Video: Vidéo 3 : polynômes
  7. Video: Vidéo 4 : polynômes, suite
  8. Video: Vidéo 5 : caractéristique
  9. 阅读: Documents de la Semaine 1


WEEK 2


Extensions de corps
algébricité, corps algébriquement clos, lemme de l'élément primitif


6 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : algébricité, transcendance
  2. Video: Vidéo 2 : extensions de corps
  3. Video: Vidéo 3 : extensions de corps, suite
  4. Video: Vidéo 4 : corps algébriquement clos
  5. Video: Vidéo 5 : élément primitif
  6. Video: Complément sur les espaces vectoriels
  7. 阅读: Documents de la Semaine 2


WEEK 3


Polynôme minimal
éléments conjugués


2 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : polynôme minimal et conjugués
  2. Video: Vidéo 2 : extensions de corps et conjugués
  3. 阅读: Documents de la Semaine 3


WEEK 4


Corps fini
Frobenius, automorphismes, extensions de corps finis


3 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : corps finis
  2. Video: Vidéo 2 : élément primitif et corps finis
  3. Video: Vidéo 3 : construction de corps finis
  4. 阅读: Documents de la Semaine 4


WEEK 5


Théorie des groupes I
résultats de base, ordre d’un élément, théorème de Lagrange


2 videos, 2 readings expand


  1. Video: Vidéo 1 : théorie des groupes
  2. Video: Vidéo 2 : groupes quotients
  3. 阅读: Corrigé de l'évaluation n°1
  4. 阅读: Documents de la Semaine 5

Graded: Evaluation no 1

WEEK 6


Correspondance de Galois
lemme d'Artin, groupes de Galois, correspondance de Galois


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  1. Video: Vidéo 1 : correspondance de Galois
  2. Video: Vidéo 2 : extensions galoisiennes
  3. Video: Vidéo 3 : correspondance de Galois, suite
  4. Video: Vidéo 4 : Galois et groupe symétrique
  5. Video: Vidéo 5 : Galois pour les corps finis
  6. 阅读: Documents de la Semaine 6


WEEK 7


Théorie des groupes II
groupes résolubles, non résolubilité du groupe symétrique Sn pour n plus grand ou égal à 5


3 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : groupes résolubles
  2. Video: Complément I sur les sous-groupes transitifs résolubles de Sp
  3. Video: Complément II sur les sous-groupes transitifs résolubles de Sp
  4. 阅读: Documents de la Semaine 7


WEEK 8


Cyclotomie I
extension cyclotomique générale, théorie de Kummer


3 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : cyclotomie
  2. Video: Vidéo 2 : théorie de Kummer
  3. Video: Complément : deux exemples de calcul
  4. 阅读: Documents de la Semaine 8


WEEK 9


Théorèmes de résolubilité de Galois
critère de résolubilité, théorème de Galois en degré p


4 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : critère de résolubilité I
  2. Video: Vidéo 2 : critère de résolubilité II
  3. Video: Vidéo 3 : le cas des équations de degré premier
  4. Video: Complément sur les anneaux quotients et idéaux
  5. 阅读: Documents de la Semaine 9


WEEK 10


Réduction mod p
groupes de Galois de polynômes à coefficients entiers par réduction modulo p


4 videos, 2 readings expand


  1. Video: Vidéo 1 : réduction mod p faible
  2. 阅读: Corrigé de l'évaluation n°2
  3. Video: Vidéo 2 : réduction mod p forte
  4. Video: Complément : retour sur un exemple de calcul
  5. Video: Complément sur le théorème de Cebotarev
  6. 阅读: Documents de la Semaine 10

Graded: Evaluation no 2

WEEK 11


Compléments
Cyclotomie sur Q (grâce à la réduction modulo p) et autres applications.


2 videos, 1 reading expand


  1. Video: Vidéo 1 : exemples de calculs
  2. Video: Vidéo 2: cyclotomie sur Q
  3. 阅读: Documents de la Semaine 11
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